线性代数基础笔记
整理一下以前的线性代数笔记，仅作个人复习总结
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向量
：单位向量，英文叫做a-hat ：a的垂直分量 矩阵与行列式
- 线性无关：一个向量不能被向量集合中的其他向量组合构成。
- 基：向量空间的基彼此之间线性无关
- 线性变换：
- 原点变换后依然保持固定
- 直线变换后还是直线
在线性变换里，网格线保持平行且等距分布
- 矩阵：一个n维空间的变换的基有n个向量，将这n个向量依次排列得到变换矩阵
- 矩阵变换：关注向量空间基每个向量变化后的值，用变化后的基原样表示变换后矩阵的每一个点
如果矩阵的所有向量线性无关，变换后维度不变；如果有线性相关，则降维，降低维度和线性相关的向量数有关
变换本质是一个函数
例：逆时针旋转90°，即是将i从(1,0)变成(0,1)，j从(0,1)变成(-1,0)，（这是两组可以代入计算的方程）据此可以编写变换矩阵。
将向量的变换转变为向量所在坐标系的变换。当向量完成了矩阵的变换时，它以变换前的形态存在于变换后的坐标系中
矩阵的积：多个变换依次组合。构成包含一组变换信息的复合矩阵。这个顺序是从右往左读的，所以理解的定位还是在右边
变换本质是一个函数，所以变换的积相当于
矩阵乘法有序，是因为对于右边矩阵基的每个向量，”我的x变成左边的xyz…集合，我的y变成左边的xyz….集合“，每次计算出对应列的向量
行列式：只能是n维空间的n维变换的面积/体积属性。比如在二维空间，2X2行列式表达的就是这个二维空间变换。其解表示经过这个变换，其中一个区域的面积变成了几倍
当行列式某列向量与其他向量线性相关时，代表这一维度的值变成了0，最终得到的体积就为0
变换如果发生”翻转“（即改变了空间的定向），那么行列式结果就是负数。对于二维空间类似纸反面，三维空间是左右手系转换一般对应着，两个向量顺时针锐角变成顺时针钝角，或相反。
线性方程组
- 线性方程组可以理解为一个未知向量经空间变换后可以得到一个已经向量。线性方程组就是向量的一元一次方程
逆矩阵：方程组中用一个矩阵对向量（空间）做了变换，解就是能让这个变换恢复原样的逆变换，也就是那个逆矩阵。
当变换存在降维时不存在解，即不存在逆变换。因为这个维度的信息完全丢失，没法“解压缩”。所以行列式为0时，矩阵不可逆
秩(rank)：一个变换进行后，得到结果的维数。比如结果为二维则秩为2。如果秩和矩阵维度相同，则为满秩。
- 核：进行满秩变换时，得到的矩阵的原点还是原先矩阵原点的零向量。但如果不满秩，意味着有一系列向量被压缩进了结果矩阵的原点，即有无限个零向量。这些零向量的集合是核/零空间
非方阵
非方阵和矩阵的理解相似，只是代表输入输出向量所在的空间维度不同。
变换矩阵的行数是输出维度，列数是输入维度。根据左边的变换矩阵，分为两种情况。
变换矩阵在左，列数为输入维度，行数为输出维度。运算矩阵在右，行数为输入维度，列数为参与运算的向量的数量
(n,m) =
- 变换矩阵的行数多于列数时，相当于给右侧向量添加一个值为0的新维度。如3X2矩阵，它只能接受2维向量，并将结果输出到3维空间里。我们将一个2维向量直接放入3维空间不会对它发生任何改变，所以一个2维向量本来就可以看作3维向量，只是新引入的那个维度的值为0。所以
- 变换矩阵的列数多于行时，相当于将右侧向量最下方的维度抹去（如果还在原空间观察，则为归零）。
实际归零的维度可能更多，取决于变换矩阵的秩
点积：投影，向一维的空间变换
向量a到向量b投影长度与b向量长度的积。向量a、b维度相同，比如说是n。那么n维向量算点积相当于一个n维向量(a)进行nX1矩阵(直立的向量b)的变换。
结果是数，， 因为nX1矩阵将向量变换到一维，就相当于将b投影到a
叉积：行列式
其方向与相乘的两个向量都垂直。
遵守右手法则（右手坐标系；左手系则为左手法则）
- 左向量在食指，右向量在中指，结果方向为大拇指方向。
- 四指从左向量经过小角度穿过右向量，大拇指指向结果方向
其模为原单位面积/体积构成平行形的面积/体积。有顺序差异，当向量锐角逆时针结果为正，锐角顺时针结果为负实际运算方法： 
基变换：本质和矩阵空间变换没什么区别。可以用一个变换矩阵完成。
将向量在目标坐标系中的坐标值看作在我们当前坐标系中的误解。这样将这个值向目标坐标系转换，得到的是在我们当前坐标系的正确值。
将坐标系A中的向量转换到坐标系B，变换矩阵是T。相似矩阵
同时可推出
A和B是相似的。我们可以将P看作向另一个坐标系的变换，那么
就是逆变换，将坐标系变回来。所以可以认为A是相当于在另一个坐标系的B变换（当矩阵A和B相似时，它们表示了同一个线性变换在不同基下的矩阵表示） 正交矩阵
如果一个矩阵的逆=这个矩阵的转置，则这个矩阵是正交矩阵
仿射变换 = 线性变换+平移变换
齐次坐标是一种在几何学和计算机图形学中常用的坐标系统。它的名称源自拉丁语中的”homogeneus”，意为”相同的”或”相等的”。齐次坐标之所以被称为齐次坐标，是因为它们具有一种特殊的性质，即任何一个点的齐次坐标可以通过乘以一个非零常数来表示同一个点的不同坐标。换句话说，齐次坐标中的每个点都有无穷多种不同的表示方式，但它们都对应于同一个几何点。
例如(1,2,1),(2,4,2),(0.5,1,0.5)表示的是二维笛卡尔坐标系上的同一点
(x, y, w)，w为权重，(x, y, w) = (x/w, y/w, 1)，表示二维笛卡尔坐标系上一点
可以用于表示仿射变换
对于二维空间的仿射变换
- 最后一行一定是0, 0, 1
- 平移变换一定在最后一列
向量具有平移不变性，所以添加0；点的位置存在区分，所以添加1
作为点如果添加的是大于1的数字，则做除法运算
特征
- 特征向量：方向是线性变换中方向不会改变的向量，长度是变换前后拉伸的倍数。（可能为负，意味着特征向量对应的方向翻转）
例如三维空间旋转变换中，旋转轴是特征向量
特征向量也可能不存在，如二维旋转变换 - 特征值：特征向量的模。
所以有：计算时，我们求解 主要作用：将一个向量变换前的值拆分为两个特征向量，利用特征值轻松计算出两个分量变换后结果，再合成就得到了目标向量变换后的结果
让λ使得矩阵降维
- 特征基：所有基向量都是特征向量。
- 正对角矩阵：使用特征基的矩阵。角上的值为特征值。正对角矩阵的乘法极其简单，可以直接视为数字乘法
所以在计算矩阵乘方时，可以先找到这个矩阵的特征基，变换到正对角矩阵后乘方，乘方完成后再变回来。
